Repositório RCAAP

A finite element model with discrete and explicit representation of steel fibers is applied for modeling the post-cracking behavior of Steel Fiber Reinforced Concrete (SFRC) in order to contribute on the design of beams with combined reinforcement of steel fibers and rebars (RC-SFRC beams). In this numerical approach, concrete and fibers are initially discretized in finite elements in an independent way, avoiding high computational costs due to conforming meshes. Then, coupling finite elements are introduced to describe the concrete-fiber interaction. The steel fibers are discretized using truss finite elements and their behavior described by an elastoplastic constitutive model. The position of each fiber is defined into the specimen by an uniform isotropic random distribution using as reference the concrete finite element mesh. Concrete and concrete-fiber interface are represented using three and fournoded triangular finite elements, respectively, and their behavior represented by appropriate continuum damage models integrated using an implicit-explicit scheme to enhance the robustness and to reduce the expense of computation. Firstly, the numerical tool is applied in the simulation of three-point bending tests according to EN 14651 to verify its ability to obtain the performance parameters of SFRC and for calibrating the material parameters that describe the concrete-fiber interface. Secondly, both numerical and experimental performance parameters of SFRC are used on the design of RC-SFRC beams according to fib Model Code 2010 to study their influence on the amount of bending and shear reinforcements required. Thirdly, the RC-SFRC beams designed are numerically simulated and the results are compared to the designed ones in terms of crack width, mean crack spacing, deflection and ultimate and service loads. Finally, the numerical results of small scale beams are compared to the experimental and the fib Model Code 2010 predictions to study the capability of the numerical tool to simulate the behavior of structural members. The results demonstrated that computational simulations with an appropriated approach to represent the composite may be an important tool to contribute to better understanding its behavior, extrapolating the conditions considered in laboratory and contributing on the design of SFRC structural members.

O trabalho propõe avaliação das respostas de esforços e deslocamentos de edifícios 3D considerando a interação solo-fundação-estrutura usando o conceito de Confiabilidade Estrutural. Para isso, empregam-se os Métodos dos Elementos Finitos (MEF) para a análise de estruturas e os métodos de Monte Carlo Simples (MCS) e First Order Second Moment (FOSM) para calcular sua segurança perante a inserção de variabilidade em certos parâmetros significativos no projeto, como as incertezas dos dados de rigidez do solo e a velocidade de vento. A formulação do edifício é baseada no MEF com elementos de barra e de casca, sendo as vigas, pilares e estacas elementos de barra e as sapatas em elementos de casca. Essa formulação é elastostática, mas permitindo a analise não-linear geométrica para os pilares. O solo é representado pelo modelo discreto de Winkler, o qual substitui sua influência contínua por molas pontuais com rigidezes equivalentes, tanto para a fundação rasa (sapatas isoladas) como para profunda (estacas). Com os resultados obtidos pelos modelos gerados, são feitas discussões e comparações com os métodos tradicionais de avaliação do fenômeno de recalque diferencial confrontando limites de índices de confiabilidade apresentados no Joint Committee on Structural Safety (JCSS, 2001) e os valores absolutos propostos pela literatura com base na Associação Brasileira de Normas Técnicas, ABNT, NBR6122: Projeto e execução de fundações (2010). Realiza-se também a análise de Estado Limite Último de pilares submetidos a flexo-compressão oblíqua com não linearidade física, de modo a avaliar o dimensionamento com fatores de segurança parciais da NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas - Procedimento (2004) e Métodos de Confiabilidade Estrutural.

A análise isogeométrica (AIG) de estruturas consiste em construir a geometria exata ou aproximada de um modelo computacional a partir de funções criadas por meio de tecnologias de Computer Aided Design (CAD), tais como B-Splines, NURBS (Non-Uniform Rational BSplines) e T-splines, e aplicar o conceito de análise isoparamétrica, ou seja, representar o espaço de solução para as variáveis independentes em termos das mesmas funções que representam a geometria. O presente trabalho visa o estudo da análise isogeométrica aplicada a vigas planas, com a utilização de B-Splines e NURBS para aproximação de deslocamentos. São desenvolvidos modelos isogeométricos de vigas planas baseados nas hipóteses de Bernoulli- Euler e Timoshenko, e alguns exemplos de aplicação são realizados a fim de comparar os resultados numéricos com soluções analíticas, mostrando boa concordância. Uma questão pertinente à AIG corresponde à imposição de vínculos em pontos do domínio em que as funções básicas não sejam interpolatórias ou os vínculos desejados não forem diretamente relacionados aos graus de liberdade do elemento, que é o caso do elemento de viga de Bernoulli-Euler, já que as rotações geralmente não são tidas como graus de liberdade mas há a necessidade de se prescrever condições de contorno/conexão nas mesmas para descrever problemas físicos. Essa questão é tratada no presente trabalho através dos Métodos de Lagrange e de penalidade. São realizados exemplos de aplicação construídos com elementos de viga de Bernoulli-Euler utilizando os métodos de Lagrange e de penalidade na imposição de vínculos e na conexão entre pontos de regiões de domínio.

As vigas mistas de aço-concreto vêm ganhando espaço no mundo e no Brasil. Sua grande vantagem é o aproveitamento das melhores propriedades que cada material apresenta. O aço possui excelente resposta para esforços tanto de tração como os de compressão e o concreto para esforços de compressão. As vigas mistas envolvem basicamente o perfil de aço, a laje de concreto, os conectores e as armaduras. Na interface destes materiais ocorrem fenômenos que merecem destaque, como grau de interação, cisalhamento na superfície de contato e separação vertical. Os procedimentos normalmente empregados em projetos de estruturas convencionais de concreto armado e de aço fornecem muitas respostas para questões semelhantes nas estruturas mistas, porém, no geral, não abordam a questão mais relevante que é a ligação entre o aço e o concreto. Na vizinhança dos conectores de cisalhamento, a laje da viga mista de aço e concreto está sujeita a uma combinação de cisalhamento longitudinal e momento fletor transversal, por isso a interface é a região que necessita de uma análise cuidadosa. Esses aspectos são os objetos principais da pesquisa. Adicionalmente são discutidos os procedimentos de projetos adotados pelas normas brasileira (NBR 8800-86), americana (AISC) e européia (EUROCODE 4): nas regiões de ligações entre os materiais por meio de conectores em perfis de aço sob lajes de concreto, no controle da fissuração em seções solicitadas por momentos negativos e nas armaduras transversais de costura.

Na engenharia, existem diversas técnicas de análise estrutural que conduzem à obtenção de esforços e deslocamentos com considerável grau de eficácia e acurácia e, dentre estas, há a técnica de SUBESTRUTURAÇÃO. Esta técnica consiste na divisão e análise de um modelo estrutural completo, através da divisão de seu domínio em SUBESTRUTURAS, permitindo uma considerável eficiência nos cálculos e na avaliação de modelos estruturais combinados com a análise hierárquica de estruturas. Neste trabalho, seguindo-se a metodologia de pesquisa, que envolveu revisão bibliográfica e desenvolvimento de modelos computacionais, apresentaram-se as principais técnicas de subestruturas - seção 1, definições e formulação teórica dos principais métodos - desenvolvidos por Przemienieck (1963), Rosen e Rubinstein (1968), Rubinstein (1970) e El-Sayed e Hsiung (1990) - e a conceituação da análise hierárquica de estruturas com as respectivas aplicações combinadas com técnica de subestruturação para análise de fissuras em estruturas aeronáuticas, proposta de Starnes e Britt (1991) e aplicada por Potyondy (1993) - seção 2. Nesse contexto, na seção 3 se propôs a metodologia hierárquica para análise de estruturas típicas da construção civil, utilizando técnicas de subestruturação. Apresentaram-se instrumentos úteis à respectiva aplicação, dentre os quais se destaca a proposta de metodologia simplificada de análise hierárquica. Algumas precauções a serem adotadas na aplicação da metodologia também foram apresentadas. Na seção 4, desenvolveram-se cinco estudos de caso aplicando-se as metodologias, instrumentos e precauções desenvolvidos na seção 3, destacando-se a eficácia das metodologias. Conclui-se a pesquisa na seção 5 sendo que, na seção 6, indicam-se novas linhas de pesquisas a serem desenvolvidas sobre a metodologia proposta na pesquisa.

Esta dissertação apresenta uma revisão histórica dos trabalhos acerca de superfícies minimais, ressaltando a pertinência da analogia entre a busca de superfícies de mínima área e a busca de formas de membranas estruturais sujeitas a um estado de tensões superficiais, homogêneo e isótropo. São colocados alguns conceitos geométricos das superfícies parametrizáveis, com base na geometria diferencial, a fim de realizar o equilíbrio diferencial de membranas e determinar as suas equações de equilíbrio. Além disso, é apresentada uma metodologia puramente geométrica para a determinação de superfícies minimais, baseada na minimização do funcional da área, dado pela soma das áreas das facetas triangulares nas quais a superfície é discretizada. O trabalho discute a formulação matemática do problema e apresenta resultados obtidos tanto por meio das rotinas implementadas no software MATLAB quanto por meio daquelas da biblioteca de otimização deste mesmo software. Finalmente, são realizados alguns exemplos e um teste de convergência, comparando as superfícies resultantes dos métodos numéricos com suas respectivas respostas analíticas. A geometria final de um dos exemplos é verificada por meio da analogia dos filmes de sabão, realizando-se uma análise não-linear de equilíbrio através do software Ansys. As soluções foram bastante satisfatórias, resultando em formas muito próximas das analíticas e com pequenos erros relativos das áreas. O teste de convergência também comprovou que o refinamento da discretização leva a uma solução mais próxima da desejada. Portanto, os procedimentos apresentados podem ser empregados no processo de busca da forma de membranas estruturais.

Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas em concreto armado se tem sempre os pilares solicitados à flexão oblíqua composta, seja devido a momentos fletores transmitidos pelas vigas ou lajes ou devido a imperfeições construtivas ou por ações normais ao eixo da peça comprimida, atuantes entre seus pontos de vinculação. Neste trabalho se está comparando os resultados que se obtém por dois processos de cálculo, quais sejam, a) Integração numérica com desacoplamentos das flexões nas duas direções principais de inércia com o uso da rigidez secante obtida de diagrama momento-curvatura, ou seja, os esforços de segunda ordem são calculados em cada direção como se não houvesse a solicitação de flexão na direção ortogonal e ao final se verifica a segurança da peça no Estado Limite Último considerando a flexão oblíqua composta; b) integração numérica considerando a flexão oblíqua composta com a curvatura obtida de diagrama momento-curvatura ponto a ponto já no cálculo dos efeitos de segunda ordem. Foram processados 215.740 pilares cuja análise conduz à conclusão de que se pode usar o procedimento citado no item (a) acima, com segurança e sem prejuízo da economia.

A presente Dissertação apresenta algumas metodologias disponíveis para o dimensionamento do material de revestimento contra fogo de estruturas de aço em situação de incêndio. Incluem-se métodos analíticos simplificados conforme normas em vigor e resultados de análises experimentais obtidos por laboratórios internacionais e nacional. Detalha-se também a aplicação do programa de computador Super Temp Calc (STC), em análise térmica e dimensionamento de pilares, revestidos ou não por material de revestimento contra fogo, em contato com alvenarias. Comparações entre esses métodos e sugestões de emprego para a prática de projeto também são contemplados neste trabalho.

As pontes extradorso surgiram na última década do Século XX, principalmente pelo extraordinário desenvolvimento tecnológico do concreto protendido, que possibilitou uma solução simples e econômica para a construção de pontes. A Odawara Blueway Bridge, construída em 1995 no Japão, foi a primeira ponte extradorso do mundo. Depois dessa obra, dezenas de outras pontes foram construídas com esse sistema estrutural, principalmente na Ásia, comprovando sua viabilidade técnica e econômica. Todavia, não se tem conhecimento de algum estudo que mostre em que faixa de extensão de vãos as superestruturas de pontes extradorso são economicamente vantajosas em relação a outros sistemas estruturais. Neste trabalho foi realizada uma investigação visando um estudo comparativo entre as superestruturas de pontes em viga reta de concreto protendido e as pontes extradorso, ambas construídas pelo método dos balanços progressivos. Na investigação realizada verificou-se que as pontes extradorso são economicamente competitivas com a ponte em viga reta de concreto protendido, principalmente na faixa de vãos entre 100 e 200 metros.

Pontes estaiadas de concreto são estruturas complexas, em sua maioria construídas em fases, com grande grau de hiperestasticidade e comportamento não linear introduzido pela geometria e pela variação da rigidez do concreto do tabuleiro. As propriedades do concreto dependentes do tempo (fluência, retração e enrijecimento) são fundamentais no projeto de tais estruturas. Os efeitos no tempo tornam-se ainda mais relevantes posto que, associados à compressão que os estais introduzem no tabuleiro durante o faseamento construtivo, exercem influência na determinação das forças de instalação dos estais. O presente trabalho tem por objetivo apresentar um estudo dos principais métodos de determinação das forças de instalação dos estais considerando o faseamento construtivo, os efeitos diferidos no tempo e a protensão interna do tabuleiro. Um estudo de caso é apresentado para o viaduto estaiado ferroviário sobre a Rodovia Ayrton Senna e Avenida Hélio Smidt, que dá acesso ao Aeroporto Internacional Governador André Franco Montoro de Guarulhos, São Paulo. Este é um viaduto estaiado curvo não convencional, construído em balanços sucessivos, com um vão central estaiado, dois vãos laterais com um trecho estaiado conectado a outro em viga de seção celular, e dois vãos adjacentes em seção celular. A partir dos resultados, os métodos são comparados e é discutida a importância de uma análise mais aprimorada com consideração dos efeitos diferidos no tempo para viadutos de grande complexidade.

O concreto auto adensável (CAA) é um material novo cujas propriedades mecânicas precisam ser estudadas. Ele apresenta em sua composição maior quantidade de argamassa e agregados graúdos de menores dimensões, que podem torná-lo mais deformável que o concreto convencional. Em contrapartida, o melhor empacotamento das partículas no estado fresco do CAA e a sua maior resistência (para uma mesma relação a/c) pode atuar no sentido oposto. Além disso, os modelos de previsão disponíveis na norma brasileira não levam em consideração os concretos especiais. O objetivo deste trabalho é verificar se modelos de previsão disponíveis na literatura são adequados para prever a fluência e a retração do CAA. Este estudo envolve aspectos de sua caracterização por meio de ensaios em laboratório, de retração, de fluência e de outras propriedades mecânicas como resistência à compressão, resistência á tração e módulo de elasticidade. Para o ensaio de fluência foram avaliadas as influências das condições ambientais (através de corpos de prova mantidos em ambiente controlado e sem controle de umidade e temperatura) e idade de carregamento. A partir dos resultados obtidos experimentalmente, foi feita a sua comparação com os modelos de previsão do ACI, EC2, NBR, B3 e GL. O estudo da deformação do CAA também foi feito por meio da monitoração de uma viga protótipo protendida, seguida da comparação das deformações medidas com as obtidas por um programa de elementos finitos. A partir dos resultados experimentais, observa-se que dentre os modelos de previsão de fluência e retração estudados, o que mais se adéqua aos resultados obtidos experimentalmente, é o fornecido pelo ACI e GL. A utilização do modelo de previsão do ACI pelo programa de elementos finitos gerou bons resultados de previsão de deformações quando comparados com os resultados medidos. Em relação à função de fluência, nota-se que a norma brasileira é adequada para o concreto estudado.

Cascas cilíndricas circulares com uma pequena variação de espessura ao longo de seu comprimento, quando submetidas à rotação, apresentam em alguns casos, deslocamentos elásticos de sua superfície externa, tendendo a uma forma de um oval. O objetivo deste trabalho é estabelecer a relação entre a variação de espessura das cascas cilíndricas com a sua deformação devida às forças centrífugas medida durante a rotação utilizando-se dois enfoques, um experimental e outro numérico, no caso o método de elementos finitos (MEF). As cascas cilíndricas estudadas tiveram sua espessura de parede medidas por meio de aparelho de ultra-som, mas por serem fabricadas em ferro fundido cinzento, as suas lamelas de grafita atuam como refletores, o que torna a medição imprecisa. Os resultados da análise numérica encontrados se relacionam bem com os experimentais de maneira qualitativa, mas divergem na forma quantitativa. Modelos de cascas com variação de espessura imposta também foram criados e analisados usando-se o método de elementos finitos de forma a se avaliar o comportamento da casca cilíndrica sob diversas configurações de distribuição da variação da espessura. Sugere-se a pesquisa de novas tecnologias para medições por ultra-som de peças fabricadas de ferro fundido com grafita lamelar. Neste trabalho, a medição da forma oval foi feita utilizando-se sensores de proximidade do tipo \"eddy-current\".

Uma implementação computacional baseada nos conceitos da mecânica do contato e no Método dos Elementos de Contorno é desenvolvida para simular a interação entre discos de corte e maciço rochosos. Simula-se o contato considerando-se inicialmente uma superfície potencial de contato que é atualizada durante um processo de carregamento incremental, podendo conter elementos separados, em contato sem deslizamento ou com deslizamento parcial. A cada passo do carregamento incremental estima-se a configuração do modelo e os dados obtidos neste passo serão utilizados como parâmetros no passo seguinte até que todo o carregamento esteja aplicado. O modelo em estudo consiste em dois discos de corte paralelos atuando sobre uma base sólida com característica elástica linear. São feitas duas simulações com os discos de corte. Na primeira delas, compara-se a penetração dos discos utilizando-se como parâmetro os valores calculados em uma análise por elementos finitos. No segundo caso, estuda-se a distribuição de tensões no maciço quando se altera o espaçamento entre os discos para um mesmo carregamento. Além desta análise, duas outras comparações são feitas utilizando como parâmetros soluções analíticas e numéricas de modelos clássicos da mecânica do contato. São estes: cilindro e pilar em base elástica.

Esse trabalho trata do problema de interação dinâmica entre veículos de carga e estruturas de pontes rodoviárias, incluindo o aprimoramento de um modelo veicular de oito graus de liberdade usualmente utilizado na modelagem de veículos classe 3C, introduzindo o nono grau de liberdade, referente à rotação em torno de seu eixo longitudinal ou movimento roll. Foram calculados os carregamentos provenientes do veículo modelado sobre pavimento inicialmente indeslocável, com perfis iguais ou distintos de rugosidade e diferentes sob cada linha de pneus, assim como a participação da energia modal do veículo para cada caso. Tais carregamentos foram condensados estaticamente e aplicados em modelo estrutural simplificado (unifilar) de uma ponte em seção celular, visando a identificar as flutuações dos esforços de torção provenientes da diferença de perfil de rugosidade sob cada linha de pneus do veículo estudado. Ainda foram confrontados resultados para duas situações de tráfego, sendo a primeira para veículo isolado trafegando sobre estrutura e a segunda para um comboio de veículos. Também, verificou a aproximação implícita na adoção de pavimento indeslocável para a obtenção dos esforços da interação veículo-pavimento, utilizando um método iterativo até que se garantisse convergência para os deslocamentos.

Este trabalho apresenta conceitos e procedimentos que devem ser considerados na análise dinâmica de fundações de máquinas. São discutidas as abordagens e os métodos de cálculo à disposição dos engenheiros, assim como os fatores que influenciam a escolha e o desenvolvimento de modelos matemáticos adequados. Três tipos diferentes de fundação (fundações em bloco rígido, fundações de martelos e fundações aporticadas) são examinados, e são utilizados exemplos para demonstrar a eficácia de técnicas simples de modelagem.

O propósito principal do presente trabalho é estabelecer diretrizes para o uso de elementos finitos sólidos na modelagem de estruturas delgadas submetidas à flexão. Por meio de um conjunto de problemas estudou-se o travamento de elementos finitos da elasticidade bi e tridimensionais, quando usados para modelar estruturas delgadas submetidas à flexão. Foram usados elementos planos de 4, 8 e 9 nós e elementos tridimensionais de 4, 10, 11, 8, 20 e 27 nós, considerando elementos não distorcidos e distorcidos. A análise dos resultados nesses modelos permitiram entender melhor o comportamento e o uso de elementos sólidos em estruturas delgadas.

O objetivo deste trabalho foi estudar o efeito do confinamento em encontros de pilares de concreto com uma determinada resistência à compressão com lajes ou vigas de concreto de menor resistência. Com isso pretendeu-se desenvolver um melhor entendimento desse assunto, ainda pouco explorado, avaliar recomendações de algumas normas e, onde necessário e possível, sugerir uma solução alternativa. Foram ensaiados à compressão axial vinte e dois modelos reduzidos que representavam pilares de canto ou internos, incorporando parte da laje, e pilares isolados, cujos resultados foram comparados com recomendações de normas, ACI-318, CSA 23.3 e pesquisadores como, Gamble e Klinar, Ospina e Alexander, Bianchini e Silveira dos Santos. Na verdade, esta pesquisa é um prosseguimento daquela realizada por Silveira dos Santos. Complementando os estudos experimentais, modelos em elementos finitos possibilitaram a melhor compreensão desse efeito e ainda viabilizaram a comparação dos resultados experimentais com o critério de confinamento sugerido pelo CM CEB-FIP e pelo Eurocode EC2. Concluiu-se que apenas para pilares internos, cercados por laje em toda a volta, há um aumento de resistência do conjunto por efeito do confinamento do concreto da laje, devendo-se ainda respeitar certos limites. Para pilares de canto é necessária a utilização de algum elemento que compense a falta do concreto, como por exemplo, uma armadura transversal.

A busca por novos modelos matemáticos e técnicas inovadoras para análises numéricas tem sido tema de muitas pesquisas. Em análises de modelos que possuem domínios infinitos e semi-infinitos, o Método dos Elementos de Contorno (MEC) sobressai-se como uma das mais eficientes ferramentas numéricas. Por outro lado, em análises não-lineares o MEC requer a avaliação de integrais de domínio, diminuindo as vantagens de uma discretização apenas do contorno do modelo analisado. Neste trabalho apresenta-se uma técnica inovadora que trata as integrais de domínio, não adequadas para uma representação pura do contorno, em análises de modelos com materiais viscoplásticos. Na abordagem proposta, utiliza-se um novo algoritmo de visualização proposto por Noronha & Pereira para detectar as regiões de plastificação automaticamente. Este procedimento de detecção é realizado de forma incremental por meio de predições (gradiente como direção de busca) e iterações (Newton-Raphson). Uma vez que as regiões sejam obtidas, torna-se possível transformar as integrais de domínio em integrais de contorno de forma direta. Obtém-se assim uma abordagem baseada apenas na discretização do contorno dos modelos, mantendo uma das principais vantagens da utilização do MEC. Foram realizados neste trabalho alguns exemplos numéricos que apresentaram excelentes resultados em comparação com o Método dos Elementos Finitos (MEF) e com resultados encontrados na literatura.

Este trabalho apresenta o desenvolvimento de sistemas computacionais de apoio à aquisição, visualização e tratamento de dados provenientes de monitoração de estruturas de Engenharia Civil. Por meio dos sistemas construídos, torna-se possível adquirir, visualizar e filtrar informações com facilidade, ao mesmo tempo em que se permite avaliar a influência da temperatura, da retração e da fluência nos elementos estruturais monitorados. Buscando desenvolver as ferramentas computacionais em uma perspectiva alinhada com necessidades reais do setor, foram monitoradas duas pontes rodoviárias e uma estação metroviária, sendo utilizada instrumentação avançada baseada em sensores e equipamentos ópticos e elétricos, permitindo a medição de grandezas como deformação, temperatura, deslocamento e rotações. A experiência adquirida em campo encontra-se descrita, apresentando-se a estrutura e componentes dos modernos sistemas de monitoração e os principais resultados decorrentes da sua aplicação nas obras monitoradas. Nesse contexto, os sistemas computacionais construídos demonstraram ser úteis ferramentas, auxiliando nas diversas fases da monitoração estrutural, desde a aquisição até a interpretação dos resultados.

A evolução das pontes estaiadas modernas mostra a procura da engenharia de pontes por sistemas estruturais cada vez mais leves e esbeltos. No intuito de dar contexto ao problema de análise de estruturas esbeltas, de maneira geral e desde a perspectiva da concepção, se discutem os vários arranjos estruturais que podem se obter ao combinar o pilão, o sistema de suspensão por estais e o tabuleiro, elementos que compõem qualquer sistema estrutural de ponte estaiada. Este trabalho apresenta um método de análise estrutural estático não linear que considera os efeitos decorrentes da mudança da geometria da estrutura sob carregamentos (não linearidade geométrica) e os efeitos da resposta não linear da seção de concreto estrutural quando solicitada por flexão oblíqua composta (comportamento não linear do material). O programa ANLST foi elaborado para obter as relações momento-normal-curvatura e as rigidezes secantes na flexão oblíqua composta para uma seção de concreto de geometria arbitraria, esses resultados são integrados com uma análise elástica de segunda ordem, que é executada no programa SAP2000 para análise estrutural por elementos finitos. Mostra-se a formulação do método de análise elástica de segunda ordem pelo princípio dos deslocamentos virtuais, que leva em consideração os efeitos dos deslocamentos finitos dos nós do modelo para a resposta da estrutura, por meio da matriz de rigidez geométrica do elemento barra no espaço. Finalmente são apresentados dois exemplos de estruturas planas para validar o método e um exemplo de uma estrutura espacial para a aplicação do método. Todos esses exemplos mostram que os esforços e deslocamentos de segunda ordem, em este tipo de estruturas, não podem ser desprezados.