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Analisaremos parte da vasta e significativa obra de Júlio Cesar de Mello e Souza – Malba Tahan, autor de livros dedicados à literatura, à matemática e à divulgação matemática. Nas obras dedicadas à matemática e à divulgação matemática encontramos, em algumas delas, a presença de Bento de Jesus Caraça por intermédio da obra “Conceitos Fundamentais da Matemática”, editados em dois volumes isolados, como referência bibliográfica. Dentre essas obras de Mello e Souza – Malba Tahan –, abordaremos clássicos dedicados à divulgação da cultura matemática: “Antologia da Matemática” – volume 1, editado pela Saraiva Editora, São Paulo, em 1943, “As Grandes Fantasias da Matemática”, editado pela Editora Getúlio Costa, Rio de Janeiro, em 1945, e “Matemática Recreativa – Fatos e Fantasias”, 2. o Volume, editado pela Edição Saraiva, São Paulo, em 1965.

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O sistema de Navier–Stokes–Maxwell incompressível é um modelo clássico que descreve a evolução de um plasma. Embora se saiba que existem pequenas soluções suaves para esse sistema (no espírito de Fujita–Kato), a existência de grandes soluções fracas (no espírito de Leray) no espaço de energia permanece desconhecida. Esse defeito pode ser atribuído à dificuldade de acoplar as equações de Navier–Stokes a um sistema hiperbólico. Nós descrevemos aqui resultados recentes, com o objetivo de criar soluções fracas para os sistemas de Navier–Stokes–Maxwell em grandes espaços funcionais. Em particular, explicamos como, para quaisquer dados iniciais com energia finita, uma condição de pequenez apenas no campo electromagnético é suficiente para garantir a existência de soluções globais.

Neste trabalho obtemos um novo critério para garantir que a resolução duma superfície de tipo geral com singularidades canónicas tem o fibrado cotangente grande, e um novo limite inferior para os valores de d para os quais existem superfícies lisas com o fibrado cotangente grande que são equivalentes por deformação a uma hipersuperfície lisa em P^3 de grau d.

Apresentamos uma fórmula para o polinómio de Alexander clássico de um nó em termos de um invariante de nós introduzido recentemente, chamado polinómio de aumentação e definido a partir da homologia de contacto do nó. Damos uma ideia da prova, que parte de uma definição dinâmica do polinómio de Alexander e envolve a análise de vários espaços de moduli de curvas pseudoholomorfas.

Discutimos a célebre demonstração do Último Teorema de Fermat e as dificuldades que surgem ao tentar aplicar a mesma estratégia de prova sobre corpos de números. Terminamos com uma amostra dos resultados conhecidos no caso de corpos quadráticos.

These are notes for a very short introduction to some selected topics on special Riemannian holonomy with a focus on Calabi-Yau and G2-manifolds. No material in these notes is original and more on it can be found in the papers/books of Bryant, Hitchin, Joyce and Salamon referenced during the text.

Neste trabalho revemos alguns resultados relacionados com o estudo de isometrias por pedaços. Introduziremos embeddings de uma transformação de troca de intervalos numa isometria por pedaços, discutiremos a renormalização de uma isometria por pedaços particular e provaremos a existência de curvas invariantes para estas transformações.

Comutação em redes heteroclínicas está associada à existência de ferraduras suspensas. Trajetórias que exibem comutação encontram-se den- tro destes conjuntos transitivos. Revisitando o cenário de Shilnikov-Holmes, nesta Nota, descrevemos uma classe redes atractoras que exibem comutação heteroclínica, com sensibilidade relativamente às condições iniciais e sem ferraduras suspensas na sua vizinhança.

Esta é uma biografia resumida da vida e obra de Albert Einstein: físico, filósofo, prémio Nobel e ativista.

Usando uma calculadora, é fácil criar sequências definidas por recorrência e ir vendo os sucessivos termos. Por vezes, os resultados são surpreendentes e estimulam o espírito de investigação. Iremos ver o que se consegue descobrir quando inesperadamente nos aparece uma sucessão cíclica.

Revisitando José Sebastião e Silva – a colaboração na Gazeta de Matemática

No contexto de equações diferenciais autónomas, uma solução limitada com comportamento histórico é aquela para a qual as médias de Birkhoff não convergem. O Último Problema de Takens descrito em (F. Takens (2008), Nonlinearity 21(3), T33–T36) questiona a existência de sistemas dinâmicos suaves onde o comportamento histórico ocorre persistentemente num conjunto de condições iniciais com medida de Lebesgue positiva. Tendo este desafio como mote, nesta nota pretende-se fazer uma pequena digressão sobre o problema, assim como referir alguns dos desenvolvimentos recentes do tema em fluxos com ciclos heteroclínicos associados a soluções periódicas com multiplicadores de Floquet reais.

Mostra-se que toda a matriz invertível é um produto de matrizes elementares de apenas dois tipos, sendo que nenhuma delas é a matriz de permutação.

Introduzimos a no¸c˜ao de sinal de uma regra de quadratura e observamos que as regras de Newton-Cotes, respectivamente fechadas e abertas e do mesmo grau de precis˜ao, s˜ao de sinais contr´arios. Regras nessas condi¸c˜oes dir-se-˜ao companheiras. A partir de um par de duas regras companheiras (Q(f),C(f)) constru´ımos uma terceira regra M(f), a que chamamos regra associada. Este procedimento habilita-nos n˜ao s´o a estimar facilmente o erro de M(f), como a obter um encaixe de intervalos contendo o valor exacto de I(f) = \int_a^b f(x) dx. Como modelo usamos o par de regras companheiras (Simpson, Milne) e constru´ımos a sua regra associada. Mostramos ainda que a regra de Simpson ´e a regra associada ao primeiro par de regras de Newton-Cotes companheiras, as bem conhecidas regras dos trap´ezios e do ponto m´edio. Damos alguns exemplos num´ericos e fornecemos c´odigo Mathematica tendo em vista a constru¸c˜ao de novas regras e exemplos de aplica¸c˜ao.

Imaginemos que cada ponto do plano é pintado vermelho ou azul. Será que há dois pontos da mesma cor exactamente a um metro de distância um do outro? Esta é uma questão fácil: considere-se um triângulo equilátero de lado um. Que cores podem ter os seus vértices?. . . Propomos uma questão mais interessante: Provar que há um rectângulo cujos vértices têm todos a mesma cor. No mesmo contexto, será que pelo menos uma das cores (azul ou vermelho) realiza todas as distâncias possíveis? Usemos agora três cores. Admitamos então que os pontos do plano são pintados de azul, vermelho ou verde. Prove que há dois pontos da mesma cor exactamente a um metro de distância um do outro. Deixemos as cores de parte. Peço agora que o leitor me dê um exemplo de um conjunto de pontos no plano, S, de cardinalidade mínima, com a propriedade de não existir nenhum ponto do plano cuja distância a cada elemento de S ser racional.

Na travessia aérea do Atlântico Sul, em 1922, foram usados métodos astronómicos de navegação, adaptados da navegação marítima. Para a sua aplicação era importante conhecer a posição estimada da aeronave com algum rigor. Na maior parte dos casos, o conhecimento da direção seguida pela aeronave e da sua velocidade, em relação ao ar, não são suficientes para determinar essa posição com rigor, pois o vento pode provocar desvios significativos no movimento da aeronave. A determinação do efeito do vento, conhecido como deriva, era fundamental para melhorar o rigor da posição estimada. Gago Coutinho e Sacadura Cabral conceberam um instrumento, o corretor de rumos, que permitia calcular, de uma forma expedita a deriva provocada pelo vento. Além disso, o corretor de rumos servia igualmente para determinar qual a direção para a qual deveria apontar a aeronave, de modo a seguir na direção desejada. Neste artigo será explicado em que consiste o problema da deriva assim como o processo de cálculo da mesma, usando o corretor de rumos. Serão apresentadas inúmeras ilustrações, para uma melhor compreensão dos procedimentos de cálculo, sendo igualmente apresentadas as principais fórmulas de cálculo que serviram de suporte teórico à construção do instrumento.

Ficha Técnica, dados do Boletim

O presente trabalho se dedica a apontar elementos sobre a navegação portuguesa do século XVI, tomando como base o uso do instrumento jacente no plano. Esse aparato é uma das inovações de Pedro Nunes (1502-1578) proposta enquanto cosmógrafo-mor do reino de Portugal, ele está exposto no sexto capítulo do segundo livro de navegação, o qual pode ser consultado em De arte atque ratione navigandi (2008), publicação moderna. Como forma de tecer a malha histórica, parte-se da descrição do instrumento jacente no plano presente no referido tratado.