Repositório RCAAP

Notícias do número 72

Pretende-se, com este texto, fazer uma introdução resumida ao problema de valor inicial para as equações de Einstein, a um nível bastante elementar, sem recorrer a demonstrações ou definições matematicamente técnicas, assumindo apenas conhecimentos básicos de equações diferenciais parciais e geometria Riemanniana. Devido ao carácter hiperbólico das equa- ções de Einstein, começamos por fazer uma breve revisão do problema de valor inicial na física clássica, com ênfase na equação das ondas. Construí- mos a partir daí um paralelismo baseado na compreensão de algumas das propriedades fundamentais comuns a este tipo de equações, em particular na velocidade finita de propagação de informação e no princípio do domínio de dependência, para apresentar a formulação do problema de valor inicial para as equações de Einstein. Apesar do enquadramento profundamente geométrico da teoria da relatividade geral, pretendemos desta forma sali- entar muitas das analogias conceptuais com as equações da física clássica, assim como o papel igualmente central do problema de valor inicial para as equações de Einstein. Terminamos com uma apresentação dos resultados clássicos de Y. Choquet-Bruhat e de Y. Choquet-Bruhat com R. Geroch, sobre a existência e unicidade de desenvolvimentos de Cauchy maximais para o problema de valor inicial para as equações de Einstein no vácuo, e a consequente motivação para a conjetura da censura cósmica forte.

Introdução

Introdução Geral

ST1 - Álgebra e Combinatória

ST2 - Análise e Equações com Derivadas Parciais  

ST3 - Ensino da Matemática

ST4 - Geometria e Topologia

ST5 - História da Matemática

ST6 - Lógica e Computação

ST7 - Matemática nas Ciências e Tecnologia

ST9 - Probabilidades e Estatística

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Teve lugar em Mértola, a 26 e 27 de Junho de 2015, no auditório da Sede do Parque Natural do Rio Guadiana, o 28o Encontro do SNHM. A escolha deste local deveu-se ao facto de Mértola ser o local do nascimento do notável matemático José Sebastião e Silva (1914-1972). Entre 2014 e 2015 o centenário do seu nascimento foi celebrado em Portugal com diversas realizações. Como tem vindo a ser norma, o Encontro tem uma secção de comunicações dedicadas à História do Ensino da Matemática. Nela foram apresentadas quatro comunicações, que abordaram temas tão diversos como o ensino das disciplinas da área da Matemática no Liceu Central de Ponta Delgada no fim do século XIX, a  Matemática na formação dos professores do ensino primário nos últimos 50 anos de monarquia em Portugal,  a formação dos professores monitores da telescola, e aspectos da acção do Ministro Veiga Simão no ensino e  aprendizagem da matemática na perspectiva dos professores que a viveram.

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Neste trabalho, estudamos um modelo de formação de preços numa população com um número finito de agentes que compram e vendem uma mercadoria. A oferta desta mercadoria é exógena e os agentes são racionais uma vez que pretendem minimizar os custos de transacção. O problema em estudo é formulado como um jogo dinâmico entre N jogadores com uma condição de equilíbrio de mercado. O limite deste problema de N jogadores é um “mean field game”. Posteriormente, mostramos como reformular o nosso jogo como um problema de optimização do custo total. Mostramos a existência de uma solução usando o método direto do cálculo das variações. Por fim, mostramos que o preço é o multiplicador de Lagrange para a condição de equilíbrio entre a oferta e a procura.

A simetria de espelho conjectura uma correspondência profunda entre a geometria simpléctica de um espaço e a geometria algébrica do seu “espelho”. Existem várias versões desta correspondência, desde a igualdade de alguns invariantes numéricos, inicialmente conjecturada por físicos, a versões categóricas propostas por Kontsevich. Este artigo revê algumas destas versões e ilustra-las num exemplo relativamente simples: uma esfera com três orbi-pontos (no lado simpléctico). Explicamos como construir o espaço “espelho”, enunciamos as conjecturas de espelho e descrevemos uma abordagem à sua prova.