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Em 1931, no recém-criado Instituto Superior de Ciências Económicas e Financeiras (ISCEF), uma das escolas que compunha a Universidade Técnica de Lisboa, surge pela primeira vez em planos de estudos de cursos de ensino superior uma cadeira com a designação «cálculo actuarial». No entanto, assuntos de actuariado eram já ensinados em escolas que antecederam esse instituto, designadamente no Instituto Superior de Comércio (ISC) e, antes desse, no Instituto Industrial e Comercial de Lisboa (IICL). A primeira vez remonta ao IICL, na 28ª cadeira Operações financeiras, integrada no curso superior de comércio, e cujo primeiro programa data de 1888. Também no Instituto Industrial e Comercial do Porto criado em 1886 se prevê o ensino dos mesmos assuntos mas nesta exposição não fazemos referência a esse estabelecimento de ensino.

A Matemática como Cultura será abordada em sua dimensão histórica segundo as concepções filosóficas emanadas pelo matemático, pedagogo e filósofo português Bento de Jesus Caraça e pelo matemático, pedagogo e filósofo brasileiro Manuel Amoroso Costa. Essas concepções estão contidas no livro «As Ideias Fundamentais da Matemática», de autoria de Manuel Amoroso Costa, cuja primeira edição data de 1929 e no livro «Conceitos Fundamentais da Matemática», de autoria de Bento de Jesus Caraça, cuja primeira edição data de 1941, que se constituem em marco importante para o ensino de Matemática no Brasil. Bento Caraça (1901-1948) e Amoroso Costa (1885-1928) têm carreiras semelhantes em vários aspectos — divulgação científica e cultural, atuação no ensino superior e no campo político –, em épocas relativamente distintas e supostamente sem qualquer tipo de contato — correspondência ou pessoal –, o que indica independência de ações e convergência de convicções. As respectivas trajetórias por meio dos vários pontos de contato da vida e da obra estão devidamente aprofundadas na representatividade e na significância das suas obras no ensino de Matemática em terras brasileiras. Desde suas publicações iniciais — Conceitos Fundamentais da Matemática e As Ideias Fundamentais da Matemática – seguem, ainda em nossos dias, a sua trajetória histórica e referencial no Brasil.

A Reforma da Universidade de Coimbra (1772) é a concretização de um plano intentado por um grupo de homens que, sob a égide e comando do Marquês de Pombal (1699–1782), tinha como finalidade sintonizar Portugal com as ideias iluminadas da Europa e encaminhá-lo na direcção do progresso e das ciências. Com a Reforma Pombalina da Universidade, vê-se criado, em Portugal, o ensino das chamadas ciências exactas em moldes completamente novos. São criadas de raiz as novas Faculdades de Matemática e de Filosofia Natural e reformada radicalmente a Faculdade de Medicina (os Estatutos Pombalinos dedicam o seu 3º vol. a estas 3 Faculdades de «Sciencias Naturaes»). Pretendemos aqui dar a conhecer uma série de indicadores estatísticos no diz respeito ao corpo discente e docente, durante os primeiros 50 anos de vida da «Faculdade de Mathematica» (1772–1820).

José Vicente Gonçalves (1896–1985) é dos primeiros professores universitários a escrever obras dirigidas a alunos do ensino superior. Os seus manuais surgem da preparação cuidada que faz das suas lições e, são revistos e reformulados fruto da pesquisa que vai desenvolvendo sobre os temas em foco, na tentativa de aprimorar os resultados, refinar as demonstrações e seleccionar novos exemplos e exercícios. É também, significativo o facto de incluir nos seus manuais temas matemáticos recentes e apresentá-los aos alunos. Em particular, de umas edições para as outras do Curso de Álgebra Superior nota-se preocupação em actualizar, reorganizar e redistribuir os temas, reescrevendo e readaptando o texto, não esquecendo a actualização da terminologia e das notações.

Juan de Herrera, a lo largo de sus muchos años al servicio de Felipe II  — Felipe I en Portugal —, llegó a alcanzar un gran prestigio, no sólo co-  mo arquitecto-ingeniero, sino también como matemático. Fray Juan de San  Jerónimo en sus Memorias le define como arquitecto, matemático e ingeniero de las obras de Su Majestad; Cristóbal de Rojas, en el prólogo de su Tratado de fortificación, publicado en 1598, le dedica palabras extremadamente elogiosas «varón en las ciencias matemáticas tan excelente, que no  menos puede España preciarse de tal hijo que Sicilia de Archimedes, y Italia  de Vitruvio. . . » Y también es alabado por científicos extranjeros, como el germano-italiano Clavio, quien en su libro Geometria practica (Maguncia, 1606) se refiere a Herrera como el célebre y noble arquitecto y matemático español.

Leonhard Euler (1701–1783) foi provavelmente o mais influente matemático do séc. XVIII. Entre as suas obras clássicas contam-se três tratados que, no seu conjunto (perfazendo seis volumes), fornecem uma apresentação «completa» do cálculo infinitesimal: uma introdução à análise infinitesimal [Euler 1748 ]; um tratado de cálculo diferencial [Euler 1755 ]; e um tratado de cálculo integral [Euler 1768–1770 ]. Estes tratados são muito mais avançados do que quaisquer outros publicados anteriormente — por exemplo, a maior parte de [Euler 1768–1770 ] é dedicada às equações diferenciais, e em particular [Euler 1768–1770 , vol. III] é quase inteiramente dedicada às equações diferenciais parciais, que nunca antes tinham sido objecto de um tratamento sistemático. Para além disso, na altura do seu aparecimento este tratados foram inovadores em diversas questões técnicas e conceptuais, oferecendo uma versão puramente analítica do cálculo infinitesimal — o objecto central de estudo são as funções, e não quantidades geométricas; os argumentos são analíticos, e não geométricos. Mas até que ponto estes tratados foram influentes, e quando?

A Academia Politécnica do Porto (APP) (1837–1911) foi criada em 13 de Janeiro de 1837, por iniciativa de Passos Manuel, e veio substituir a Academia Real de Marinha e Comércio da Cidade do Porto (ARMCCP). A sua criação trouxe um novo paradigma ao ensino superior que existia na cidade do Porto, passando a evidenciar-se pelos vários cursos de engenharia que foram então instituídos—anteriormente, no essencial, o destaque estava na formação de comerciantes e de marinheiros. «A Academia Politécnica tinha por fim especial o ensino das ciências industriais e destinava-se a formar engenheiros civis de todas as classes, tais como engenheiros de minas, engenheiros construtores, engenheiros de pontes e estradas, oficiais de marinha, pilotos, comerciantes, agricultores e artistas em geral» ([9], p. 93). Contudo, a Politécnica do Porto debateu-se, desde a sua criação, com alguns problemas financeiros (tal como a sua antecessora), dificuldades que se prolongaram até à intervenção de Wenceslau de Lima, lente substituto desta instituição e que seria deputado às Cortes, pela primeira vez em 1882 ([5], p. 405). Este, exercendo a sua influência junto do poder central, mudaria definitivamente o rumo da APP com o Projecto de Lei proposto em 24 de Março de 1885.

Apresentamos algumas linhas gerais do projecto de investigação A Herança de Hilbert na Filosofia da Matemática, financiado pela FCT/MCTES, PTDC/FIL-FCI/109991/2009. O nosso objectivo é reavaliar as ideas de David Hilbert que contribuiram—e contribuem—para o desenvolvimento da filosofia da matemática. Por um lado, a história do programa de Hilbert é um successo, apesar dos resultados de Gödel. Gerhard Gentzen foi o primeiro que mostrou como podemos demonstrar a consistência (relativa) de sistemas matemáticos formais. Ainda hoje, o estudo da consistência relativa é uma parte importante da investigação em lógica matemática. Por outro lado, muitos tópicos da actual filosofia da matemática contêm ideias de Hilbert, não observadas ou ignoradas.

Numa busca às raízes do ensino de matemática no Arquipélago dos Açores, observamos que o mais relevante ocorre no século XIX. No início do seu povoamento a principal preocupação era a sobrevivência. Foi com a chegada dos franciscanos, dos jesuítas e dos gracianos, para as necessidades espirituais, que a instrução começou a se desenvolver. Em 1760 ocorreu o encerramento dos estabelecimentos jesuítas por ordem do Marquês de Pombal que, na sua reforma escolar, anunciava algumas criações nas ilhas açorianas. Apesar da intenção, esta reforma da instrução não se fez sentir muito no arquipélago. Do panorama das aulas, existentes até ao aparecimento do constitucionalismo, destacamos na ilha Terceira a criação, por decreto de 1797, de uma Aula de Matemática para instrução preparatória dos oficiais da organização militar estabelecida no Castelo de São João Batista de Angra, que abriu apenas em 1805.

No estudo de rodas não-circulares é natural procurar uma estrada que se lhe adapte, isto é, cuja forma garanta que o centro da roda se move sem solavancos. A equação diferencial que descreve essa conexão, entre a roda e a sua estrada perfeita, nem sempre pode ser resolvida explicitamente, mas é possível desenhar uma figura aproximada por integração numérica, por vezes com precisão elevada. Foi o que tentámos obter no caso em que a roda tem o formato de um triângulo de Reuleaux. A animação, elaborada com o programa Mathematica, permitiu-nos considerar outros formatos de rodas e estradas e, em particular, encontrar a única roda-estrada.

No artigo [4], A. A. Monteiro e M. M. Peixoto provaram que uma condição necessária e suficiente para que um espaço métricoM possua a propriedade de Lebesgue é que toda função real contínua definida em M seja uniformemente contínua, fornecendo ainda seis outras condições equivalentes às duas mencionadas. O objetivo deste artigo de divulgação é adicionar duas novas condições equivalentes àquelas consideradas no artigo citado.

A definição de continuidade nem sempre foi a que aceitamos actualmente e, em particular, chegou a confundir-se com a propriedade do valor intermédio. Esclarecidas as duas noções, certo é que a segunda é consequência da primeira mas não equivalente a ela. Este artigo aborda em detalhe alguns resultados inspirados em exemplos que distinguem estes dois conceitos, e dedica a última secção a aplicações. A bibliografia, sem ser exaustiva, contém informação complementar cuja leitura se recomenda.

As ações do professor são fundamentais para conseguir resultados positivos com os alunos, e consequentemente auxiliar para que goste de matemática. Dentre as ações que favorecem este objetivo, ensinar bem, acreditando no que se faz, é fundamental. A confiança do professor naquilo que faz constrói créditos com o aluno e produz a capacidade de guiá-lo no caminho de gostar de aprender matemática. O carisma é essencial. O bom humor faz com que as aulas sejam interessantes, despertando o interesse do educando. A pesquisa apresentada neste artigo, então, voltou-se para a investigação da opinião de 150 alunos de Ensino Médio, de quatro escolas da cidade de Viamão, duas particulares e duas públicas. A partir de uma abordagem qualitativa, com dados sofrendo Análise Textual Discursiva, a pesquisa possibilitou a conclusão de que o não gostar decorre, pelo menos em parte, da falta de contextualização que poderia ser obtida com a utilização, pelos professores, dos pressupostos da educação pela pesquisa em suas práticas pedagógicas. Os resultados sugerem que fazer o aluno gostar ou não depende de como o professor se sente no ambiente de sala de aula, e também na busca constante de aperfeiçoamento para tornar suas metodologias mais atrativas.

A FFT — Fast Fourier Transform foi já considerada um dos 10 algoritmos computacionais mais influentes do Século XX. O seu enorme impacto deve-se, em larga medida, ao vasto campo de aplicações da transformada que implementa, o qual, por sua vez, se deve à aparente obsessão da Natureza com modos de funcionamento lineares, ou aproximadamente lineares. No entanto, a FFT ganhou já o seu lugar próprio, como um dos produtos da Matemática Aplicada de maior impacto e sucesso.

A Paixão de Caraça nos "Conceitos Fundamentais da Matemática"

Recensão crítica do livro “Grupos e Álgebras de Lie” de José Carlos Santos, IST Press, 2007.

Notas sobre o Problema anterior e "Novos horizontes em Geometria"

Editor Convidado: Olga Azenhas   Autores & Artigos José Agapito Ruiz, "Riordan arrays from an umbral symbolic viewpoint" A. Azevedo, M. Carvalho, A. Machiavelo, "Um problema de grandes denominadores" Carla Fidalgo, "Formas semidefinidas positivas e somas de quadrados"

Editor Convidado: Lisa Santos Autores & Artigos Assis Azevedo, Fernando Miranda, Lisa Santos, "Multiplicador de Lagrange num problema com restrição não constante no gradiente" Hermenegildo Borges de Oliveira, "Resultados de existência de soluções fracas para fluidos viscosos incompressíveis" Nabil Bedjaoui, Joaquim M. C. Correia, "A note on nonlinear KdV-type equations" N.V. Chemetov, F. Cipriano, "Problema de camada limite: equações de Navier-Stokes e de Euler" Rui Marreiros, "Sobre uma estimativa para a dimensão do núcleo de um operador integral singular com deslocamento não carlemaneano"  

Editor Convidado: Paula Reis   Autores & Artigos José Afonso Martins, Marília Pires, "Matemática Escolar e Astronomia" António Caetano, "MATEAS: ao serviço da educação matemática no ensino superior" Susana Fernandes, "Ensinando métodos de representação proporcional – O método de Hamilton e os paradoxos" Helena Monteiro, Maria João Afonso, Marília Pires, "Testes de escolha múltipla: construção de itens" Ana C. Conceição, José C. Pereira, Cátia M. Silva, Cristina R. Simão, "Software Educacional em Pré-Cálculo e Cálculo Diferencial: O Conceito F–Tool" Ilda Reis, Edite Cordeiro, Manuel Delgado, "Dinâmica do desdobramento de sólidos geométricos com recurso ao GeoGebra 2D" Álvaro Anjo, "Cálculo Sistemático em Excel"