RCAAP Repository

Martin Gardner é uma das personalidades de culto na área da matemática recreativa. Inspirou e deliciou gerações de leitores com maravilhosas diversões matemáticas, truques de magia e desafios com números num recreio de ideias que apresentou, durante 25 anos, na sua coluna Mathematical Games, na revista Scientific American. Na altura em que se comemoram os 100 anos do seu nascimento, pedimos a cinco matemáticos portugueses que nos falassem um pouco sobre Martin Gardner. Apresentamos aqui os seus testemunhos.

[Excerto] É difícil escrever a quente sobre uma individualidade que faleceu, e que foi não só um grande historiador da Matemática, uma figura marcante no panorama da investigação nesta área nos últimos 40 anos, como também um amigo de longa data, uma pessoa cujos percursos múltiplas vezes se cruzaram com os meus, e, igualmente, com o de outros colegas portugueses. Em particular, ele foi o orientador da tese de doutoramento de João Caramalho Domingues, meu colega no Secretariado do SNHM.

O problema da agulha de Buffon permite obter aproximações ao valor de através da realização de experiências físicas ou computacionais no espírito do Método de Monte Carlo. É muito frequente a atribuição desta ideia ao próprio Buffon. Mostra-se neste artigo que não só não existe qualquer registo histórico neste sentido como é extremamente improvável que Buffon tenha alguma vez considerado uma abordagem experimental ao problema da agulha. Essa concepção errada deriva provavelmente de um mal-entendido histórico que se identifica a partir dos textos originais.

Harry Potter desloca-se a Hogsmeade, mais precisamente a uma loja em Diagon Alley, com a intenção de comprar uma vassoura, uma boa vassoura para a prática do Quidditch. Harry muniu-se de quantidade ilimitada de Galleons de ouro, de Sickles de prata e de Knuts de bronze. Relembremos que 1 Galleon = 17 Sickles, 1 Sickle = 29 Knuts. De quantas formas pode Harry pagar uma vassoura que custa n Sickles usando todas as possíveis combinações de moedas?

Notícias

Propomos um problema simples de cálculo de raízes em R2 ao qual o sistema Mathematica não pode dar resposta. Resolvemos o problema construindo certas funções iteradoras que nos permitem localizar globalmente um grande número dessas raízes. O método proposto usa apenas valores da função evitando assim o cálculo de matrizes jacobianas ou suas aproximações por diferenças finitas convencionais.

Neste artigo é apresentado um modelo teórico para a evolução temporal do capital de uma seguradora, nomeadamente o modelo clássico de risco de Crámer-Lundberg e o Teorema Fundamental do Risco que dá uma expressão explícita para a probabilidade de uma seguradora arruinar como função do capital inicial. É também apresentado um programa em linguagem R que permite obter estimativas para a probabilidade de ruína. Com este programa são feitas simulações considerando o modelo clássico de risco com diferentes distribuições para as indemnizações individuais e é feito um estudo comparativo das respetivas probabilidades de ruína.

Nesta nota, pretendemos fazer uma breve exposição do deno- minado Cálculo Fraccionário. Introduzimos alguns conceitos, bem como explicitamos e comentamos algumas de suas propriedades. Algumas pers- pectivas sobre o futuro da área são também mencionadas. Finalmente, os principais livros escritos sobre o assunto, são referenciados para conveniência do leitor.

Descrevemos um algoritmo de construção de matrizes, que só têm números inteiros não negativos e não superiores a determinado inteiro positivo p, cujas somas dos elementos de cada linha e de cada coluna da matriz são prescritas.

Esta nota é sobre automorfismos hiperbólicos do toro que são reversíveis relativamente a uma involução linear conservativa. Por estarmos em dimensão dois, será possível associar à reversibilidade uma equação de Pell generalizada de cujo conjunto de soluções retiraremos informação adi- cional sobre aquela propriedade. Provaremos ainda que a reversibilidade é uma propriedade rara neste contexto e descreveremos o caso genérico.

Carta ao Director

Carta aberta

No último encontro anual MathsJam, que se realiza habitualmente perto de Manchester, no Reino Unido, tomámos conhecimento de um blog focado em puzzles matemáticos. O seu nome, Puzzle Critic, diz ao que se propõe: a promoção de elegantes desafios matemáticos. Percorrer os seus arquivos é um prazer, damos com questões muito bem concebidas, de enunciado claro e conteúdo substancial. Deste site vem nossa selecção para hoje, que se resume a três questões sobre números.

How much can be said about the location of the eigenvalues of a symmetric tridiagonal matrix just by looking at its diagonal entries? We use classical results on the eigenvalues of symmetric matrices to show that the diagonal entries are bounds for some of the eigenvalues regardless of the size of the off-diagonal entries. Numerical examples are given to illustrate that our arithmetic-free technique delivers useful information on the location of the eigenvalues.

In the digital age, cryptography plays an increasingly important role, both in the social and economical organization of society and in our everyday life. At the same time, it is a subject of big mathematical interest that connects various scientific areas. We give a small introduction to one of the most important techniques in the field – Elliptic Curve Cryptography (ECC). The article is written in a way that does not require prior knowledge neither of the theory of elliptic curves nor of cryptography.

A classical theorem of E. Artin concerning valuations on fields is extended to valuations on division rings.

Accustomed to working with the real numbers and the usual notion of distance, we wonder at the impact that a change in the metric can cause. Given a prime p, the p-adic norm of a rational number measures its size with respect to the powers of p, declaring that an irreducible fraction is small if its numerator is divisible by a high positive power of p. This arithmetic method to estimate distances is quite different from the com- mon absolute value and, in particular, the family of convergent sequences is distinct from the real one. We will concern ourselves with the existence of series with rational terms whose convergence holds no matter the chosen norm and such that, though their limits vary with the metric, we know how to master this dependence.

This essay is dedicated to the life and scientific endeavour of José Gallego-Díaz, a Spanish mathematician and engineer whose career was deve- loped between the early 1930s and 1965 in three different political and social environments: The Spanish Republic and the civil war; then Franco’s dic- tatorial regime from 1939 until 1956; and finally in the Americas. Although a leftist politically involved in the first two stages, regardless of political regimes he was able to produce a body of mathematical ideas and applicati- ons which was a breakthrough in the Spanish mathematical panorama, not too prone to applied Mathematics in those times. In the pre-civil war years Gallego-Díaz contributed to Mathematical Biology when this discipline was in its infancy, and after the war he contributed some original studies in the mathematisation of certain fields of economic theory, whose results were published in the Portuguese journals Revista de Economía, and Gazeta de Matemática, of the Sociedade Portuguesa de Matemática. He was an uncommon teacher who enjoyed problem proposal and elegant solutions, and in addition he often wrote on very different fields, leaving behind him an abundant collection of notes, reviews, recensions, and other materials of non-mathematical nature.

"Harry Potter vai às compras" e "Paradoxos e sofismas"

Este pequeno texto é a minha sentida homenagem a um grande professor da Universidade de Lisboa, presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática entre 1992 e 1994, e, também, um grande amigo, uma amizade que se iniciou há mais de 40 anos.